帕斯卡三角形的规律（三角恒等变换解题技巧）

巴斯卡三角形，又被称为杨辉三角，这一几何排列展现的是二项式系数的独特魅力。早在南宋时期，数学家杨辉在1261年的著作《详解九章算法》中，就为我们揭示了这一奥秘。在欧洲，这一规律的发现要晚得多，由帕斯卡在1654年所揭示，因此也被称为帕斯卡三角形。尽管帕斯卡的发现晚于杨辉393年，但他的贡献同样不可忽视。

这个三角形的奥秘在于每一个数字都等于它上方两个数字之和。每一行的数字左右对称，从1开始逐渐增大。第n行的数字共有n项。这个三角形的每一行数字背后都有着深刻的数学含义。第n行的第m个数可以表示为C(n-1，m-1)，即从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。这也是组合数的性质之一：每个数字等于上一行的左右两个数字之和。第n行的数字具有这样的性质，我们可以根据这个性质逐步推导出整个杨辉三角。更进一步的组合数性质是：第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。这也恰好符合(a+b)n展开式中的各项系数，这些系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

这个三角形的奇妙之处还远不止于此。如果我们把第2n+1行的第1个数，与第2n+2行的第3个数、第2n+3行的第5个数等连成一线，我们会发现这些数的和竟然是第4n+1个斐波那契数！如果我们选择第2n行的第2个数（当n大于1时），以及与它对应的上一行或前几行的数字之和，我们会发现这是第4n-2个斐波那契数。如果将第n行的各数值乘以特定的系数（即乘以10的列数m-1次方），然后把这些数值相加的和竟然等于11的n-1次方！例如，第11行的数值乘以特定系数后的和正好等于对数值的结果：实现源码运行结果得到的结果一样精确。这些数学奥秘让人不禁叹为观止，展现了数学的无穷魅力。