圆台体积公式推导过程

积分法求解圆台体积

设想一个圆台，其下底面位于z=0处，上底面位于z=h处。下底面半径为R，上底面半径为r。为了计算其体积，我们可以采用积分法。

设定坐标系统后，我们知道圆台的半径随着高度线性变化。在高度z处，半径r(z)的计算公式为 r(z) = R + (r-R)×z/h。为了求解圆台的体积，我们将圆台分解为无数个薄片圆柱体，每一个的体积微元为π×[r(z)]^2×dz。对整个高度区间从0到h进行积分，即可得到圆台的体积。

展开被积函数后，我们得到的是一个多项式乘以π和dz的积分。对这个多项式逐项积分，我们得到三个积分项，分别是h、h^2/2和h^3/3。将这些结果代入积分公式，经过计算，我们得到圆台的体积公式为：V = (1/3)πh(R^2 + Rr + r^2)。

体积差法求解圆台体积

除了积分法，我们还可以通过体积差法来求解圆台的体积。假设我们有一个高度为H、底面半径为R的圆锥。如果我们从这个圆锥中截去一个小的圆锥，其高度为H-h，底面半径为r，那么剩余的部分就是圆台。圆台的体积等于原圆锥的体积减去小圆锥的体积。

为了求得小圆锥的高度H-h与原圆锥底面半径R之间的关系，我们可以利用相似三角形的性质。根据相似性，我们知道小圆锥与原圆锥的相似比为r/R = (H-h)/H。从这个比例关系中解出H的值后，我们就可以求得圆台的体积公式。经过计算，我们发现通过体积差法得到的圆台体积公式与积分法得到的结果是一致的。

总结答案

经过积分法和体积差法的推导，我们得到了圆台的体积公式：V = (1/3)πh(R^2 + Rr + r^2)。这一公式为我们提供了一种便捷的方式来计算圆台的体积。